У новому дослідженні показано, що алгебраїчна геометрія та позитивна геометрія можуть стати універсальною мовою для опису природи – від субатомних частинок до космічних структур.
Математика як мова природи
Математика вже давно виконує роль мови, якою описується фізичний світ. У сучасній теоретичній фізиці особливе місце займають інтеграли Фейнмана – складні математичні вирази, що відображають амплітуди розсіювання частинок. Вони не є абстрактними конструкціями: такі обчислення дозволяють робити точні передбачення результатів експериментів на колайдерах та аналізувати поведінку матерії у ранньому Всесвіті.
Дослідники Клаудія Февола (Inria Saclay) та Анна-Лаура Саттельбергер (Інститут математики в природничих науках ім. Макса Планка) підкреслюють: «Позитивна геометрія — все ще молода галузь, але вона має потенціал суттєво вплинути на фундаментальні дослідження як у фізиці, так і в математиці».
Алгебраїчна геометрія та нові інструменти
Класичний підхід Фейнмана базується на діаграмах, що відображають процеси взаємодії частинок. За ними стоять граф-поліноми, побудовані з остовних дерев та лісів, інтеграли яких можна інтерпретувати за допомогою методів алгебраїчної геометрії. Ці інтеграли тісно пов’язані з узагальненими інтегралами Ейлера, а їхні властивості описуються через D-модулі – математичні структури для дослідження диференціальних рівнянь.
У космології подібні інтеграли виникають у вивченні кореляційних функцій, що описують розподіл речовини у ранньому Всесвіті. Таким чином, одна і та ж математика виявляється корисною і для фізики елементарних частинок, і для космології.
Позитивна геометрія як нова перспектива
Позитивна геометрія, запропонована у 2013 році Німою Аркані-Хамедом та Ярославом Трнкою, переводить обчислення амплітуд у мову багатовимірних геометричних об’єктів. Амплітуди розсіювання частинок можна описати через об’єми геометричних фігур, що суттєво спрощує розрахунки.
Цей підхід має практичне продовження: у космології застосовуються космологічні політопи – геометричні об’єкти, які відображають кореляції космічного мікрохвильового фону та великомасштабного розподілу галактик. Вони допомагають реконструювати фізичні закони, що діяли у перші миті після Великого вибуху.
Симбіоз фізики та математики
Фізика надихає розвиток нових математичних напрямів, а математика надає інструменти для формулювання і перевірки гіпотез у фізиці. Дослідження Феволи та Саттельбергер стало частиною ширших міжнародних зусиль у рамках гранту ERC UNIVERSE+, очолюваного провідними теоретиками, серед яких Німа Аркані-Хамед та Даніель Бауман.
«Тепер справа за науковою спільнотою – опрацювати деталі цих нових математичних об’єктів і перевірити їхню достовірність», – підкреслюють автори.
Позитивна геометрія пропонує нову основу для єдності фізики і математики, де складні квантові та космологічні явища виражаються у вигляді геометричних структур. Вона може стати не лише інструментом розрахунків, але й ключем до глибшого розуміння того, як влаштований Всесвіт.
Хочете, я підготую коротку структуровану версію цього тексту (до 5000 знаків), стилізовану як наукову статтю українською?
#Прихована #геометрія #що #пояснює #Всесвіт
Source link
